Exercice 2.03

Fiche 2
Author

Clément Poupelin

Published

Invalid Date

Modified

March 3, 2025

Intervenant.e.s

Rédaction

Relecture

Setup

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# Données
library(dplyr)        # manipulation des données

# Esthétique
library(latex2exp)   ## TeX
library(ggplot2)     ## ggplot
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Sim_serie <- function(m, c) {
  eps <- rnorm(m + 100)  
  x <- rep(NA, m + 100) 
  
  # On suppose pour notre condition initial
  x[1] <- eps[1] 
  for (i in (2:(m + 100))) {
    x[i] <- eps[i] - c * x[i - 1]
  }
  x_final <- x[101:(m + 100)]
  return(ts(x_final))  
}
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ggTimeSerie <- function(ts, c) {
  df_series <- data.frame(Time = seq_along(ts), X_t = ts)
  
  p <- ggplot(df_series, aes(x = Time, y = X_t)) +
    geom_line(color = "red") +
    labs(title = TeX(paste0(
      "Série $X_m$ pour c = ", c
    )),
    x = "Time",
    y = "Simulated series") +
    theme_minimal()
  
  return(p)
}
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ggACF <- function(ts, c) {
  acf_data <- acf(ts, plot = FALSE)
  df_acf <- data.frame(Lag = acf_data$lag, ACF = acf_data$acf)
  
  pacf_data <- pacf(ts, plot = FALSE)
  df_pacf <- data.frame(Lag = pacf_data$lag, PACF = pacf_data$acf)
  
  # Intervalle de confiance
  ci <- qnorm((1 + 0.95) / 2) / sqrt(length(ts))
  
  # ACF
  p_acf <- ggplot(df_acf, aes(x = Lag, y = ACF)) +
    geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") +
    geom_point(color = "red") +
    labs(
      title = paste0("Autocorrelation Function (ACF) \n pour c = ", c),
      x = "Lag",
      y = "ACF"
    ) +
    geom_hline(
      yintercept = c(-ci, ci),
      color = "blue",
      linetype = "dashed"
    ) +
    theme_minimal()
  
  # PACF
  p_pacf <- ggplot(df_pacf, aes(x = Lag, y = PACF)) +
    geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") +
    geom_point(color = "red") +
    labs(
      title = paste0("Partial Autocorrelation Function (PACF) \n pour c = ", c),
      x = "Lag",
      y = "PACF"
    ) +
    geom_hline(
      yintercept = c(-ci, ci),
      color = "blue",
      linetype = "dashed"
    ) +
    theme_minimal()
  
  return(list(ACF = p_acf, PACF = p_pacf))
}
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set.seed(140400)

Données

Pour cette exercice, nous allons utiliser une fonction pour simuler des trajectoires de processus défini par l’équation de récurrence \(X_m + cX_{m−1} = \varepsilon_m\) où \((\varepsilon_m)\) est une suite de variables aléatoires centrées iid (indépendantes et identiquement distribuées).

Note

Pour obtenir une série de longueur \(m\), simuler \(m + 100\) valeurs et supprimer les \(100\) premières valeurs pour atténuer l’effet de l’initialisation, nous pouvons utiliser la fonction filter.

Notre objectif ici va être, pour \(|c| = 0, .5, .9\), de tracer une trajectoire simulée afin d’observer l’impact de \(c\) dans celle ci.

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m <- 500
c <- c(-0.9, -0.5, 0, 0.5, 0.9)

Sim_mat <- list()
for (i in seq_along(c)){ 
  Sim_mat[[i]] <- Sim_serie(m, c[i])
}

ACF

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_mat[[1]], c[1]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[2]], c[2]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[3]], c[3]), 
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[4]], c[4]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[5]], c[5]), 
                        ncol = 5)

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gridExtra::grid.arrange(ggACF(Sim_mat[[1]], c[1])$ACF,
                        ggACF(Sim_mat[[2]], c[2])$ACF,
                        ggACF(Sim_mat[[3]], c[3])$ACF, 
                        ggACF(Sim_mat[[4]], c[4])$ACF,
                        ggACF(Sim_mat[[5]], c[5])$ACF, 
                        ncol = 5)

Résultats

On remarque qu’au moment où nos paramètres sont proche de \(1\) ou \(-1\), nos autocorrélations sont forte et notre série perd en stationnarité. En effet, on remarque que le processus est un AR(1) avec son acf qui décroit exponentiellement et la stationnarité se perd quand \(|c| \longrightarrow 1\).

On remarque également que, qand \(c=0\), on a un bruit blanc.

PACF

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_mat[[1]], c[1]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[2]], c[2]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[3]], c[3]), 
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[4]], c[4]),
                        ggTimeSerie(Sim_mat[[5]], c[5]), 
                        ncol = 5)

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gridExtra::grid.arrange(ggACF(Sim_mat[[1]], c[1])$PACF,
                        ggACF(Sim_mat[[2]], c[2])$PACF,
                        ggACF(Sim_mat[[3]], c[3])$PACF, 
                        ggACF(Sim_mat[[4]], c[4])$PACF,
                        ggACF(Sim_mat[[5]], c[5])$PACF, 
                        ncol = 5)

Résultats

encore une fois, On reconnait alors les caractéristiques d’un AR(1) au vu des ACF et PACF. Et le cas de \(c=0\) apparait plus clairement comme celui d’un bruit blanc.

Conclusion

ici on a pu voir l’impact du paramètre c dans les séries de type AR(1) via les ACF et PACF.

Session info

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sessioninfo::session_info(pkgs = "attached")
─ Session info ───────────────────────────────────────────────────────────────
 setting  value
 version  R version 4.2.1 (2022-06-23 ucrt)
 os       Windows 10 x64 (build 22631)
 system   x86_64, mingw32
 ui       RTerm
 language (EN)
 collate  French_France.utf8
 ctype    French_France.utf8
 tz       Europe/Paris
 date     2025-03-03
 pandoc   3.2 @ C:/Program Files/RStudio/resources/app/bin/quarto/bin/tools/ (via rmarkdown)

─ Packages ───────────────────────────────────────────────────────────────────
 package   * version date (UTC) lib source
 dplyr     * 1.1.4   2023-11-17 [1] CRAN (R 4.2.3)
 ggplot2   * 3.5.1   2024-04-23 [1] CRAN (R 4.2.3)
 latex2exp * 0.9.6   2022-11-28 [1] CRAN (R 4.2.3)

 [1] C:/Users/cleme/AppData/Local/R/win-library/4.2
 [2] C:/Program Files/R/R-4.2.1/library

──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────