Intervenant.e.s

Rédaction

Clément Poupelin, clementjc.poupelin@gmail.com

Relecture

Setup

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# Données
library(dplyr)        # manipulation des données

# Esthétique
library(latex2exp)   ## TeX
library(ggplot2)     ## ggplot

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Sim_serie <- function(n, a, b, w) {
  x <- a * cos(w * seq(1, n)) + b * seq(1, n) + rnorm(n)
  return(ts(x))
}

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ggTimeSerie <- function(ts) {
  df_series <- data.frame(Time = seq_along(ts), X_t = ts)
  
  p <- ggplot(df_series, aes(x = Time, y = X_t)) +
    geom_line(color = "red") +
    labs(title = TeX(paste0(
      "Série $X_j$ pour n = ", length(ts)
    )),
    x = "Time",
    y = "Simulated series") +
    theme_minimal()
  
  return(p)
}

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ggACF <- function(ts) {
  acf_data <- acf(ts, plot = FALSE)
  df_acf <- data.frame(Lag = acf_data$lag, ACF = acf_data$acf)
  
  pacf_data <- pacf(ts, plot = FALSE)
  df_pacf <- data.frame(Lag = pacf_data$lag, PACF = pacf_data$acf)  
  
  # Intervalle de confiance
  ci <- qnorm((1 + 0.95) / 2) / sqrt(length(ts))
  
  # ACF 
  p_acf <- ggplot(df_acf, aes(x = Lag, y = ACF)) +
    geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") +
    geom_point(color = "red") +
    labs(title = "Autocorrelation Function (ACF)", x = "Lag", y = "ACF") +
    geom_hline(yintercept = c(-ci, ci), color = "blue", linetype = "dashed") +
    theme_minimal()
  
  # PACF 
  p_pacf <- ggplot(df_pacf, aes(x = Lag, y = PACF)) +  
    geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") +
    geom_point(color = "red") +
    labs(title = "Partial Autocorrelation Function (PACF)", x = "Lag", y = "PACF") +
    geom_hline(yintercept = c(-ci, ci), color = "blue", linetype = "dashed") +
    theme_minimal()
  
  return(list(ACF = p_acf, PACF = p_pacf))
}

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set.seed(140400)

Données

Pour cette exercice, nous allons utilisé une fonction qui retourne une série simulée de la forme $X_j = a \text{cos}(ω_j) + bj + \varepsilon_j$, $j=1, ..., n$, avec $(\varepsilon_j)$ un bruit blanc gaussien centré et de variance 1.

Les paramètres d’entrée de la fonction sont $n$, $a$, $b$, $w$ et la sortie est une série temporelle.

Note

Pour définir une série comme série temporelle, on utilise la fonction ts qui transforme nos points générés en une série temporelle.

On pose maintenant différents paramètres que l’on testeras :

$n=100$ ou $n=500$
$a=0$ ou $a=2$
$b=.01$ ou $b=0$
$w=\frac{\pi}{6}$

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n <- c(100, 500)
a <- c(0, 2)
b <- c(0.01, 0)
w <- pi/6

Situation avec tendance mais sans saisonnalité

Pour cette situation, nous allons utiliser $a=0$ et $b=.01$. Ainsi nous aurons la série simulée $X_j = .01j + \varepsilon_j$.

Commencons par repésenter la série ainsi que sa suite des auto-corrélations empiriques pour $n=100$ et $n=500$.

Note

Pour tracer notre série temporelle et sa suites des auto-corrélations empiriques, on pourrait se contenter d’utiliser les fonctions de bases plot et acf.

$n=100$
$n=500$

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Sim_serie_drift_100 <- Sim_serie(n[1], a[1], b[1], w)

gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_100), ggACF(Sim_serie_drift_100)$ACF, ncol = 2)

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Sim_serie_drift_500 <- Sim_serie(n[2], a[1], b[1], w)

gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_500), ggACF(Sim_serie_drift_500)$ACF, ncol = 2)

Résultats

Nous pouvons constater ici la présence d’une tendance qui se renforce quand $n=500$. Et nous voyons bien l’impact que cela a sur la suite des auto-corrélation avec des auto-corrélation élevés quand $n=500$.

Mais cela nous fait donc aussi remarquer qu’il faut être prudent avec les tendances qui ne sont pas toujours évidentes à repérer lorsque $n$ est “petit”.

Différenciation d’ordre 1

Ici, nous allons procéder à une opération d’ordre 1. Cela signifi que pour notre série $X_j$, nous allons effectuer l’opération $X_j − X_{j−1}$.
Cette opération peut ce faire facilement avec la fonction diff.

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Sim_serie_drift_100_diff <- diff(Sim_serie_drift_100, lag = 1)
Sim_serie_drift_500_diff <- diff(Sim_serie_drift_500, lag = 1)

Maintenant, nous pouvons donc regarder l’effet que cette différenciation d’orde 1 a pu avoir sur notre série et son graphe des auto-corrélations empiriques.

$n=100$
$n=500$

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_100_diff), ggACF(Sim_serie_drift_100_diff)$ACF, ncol = 2)

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_500_diff), ggACF(Sim_serie_drift_500_diff)$ACF, ncol = 2)

Résultats

Nous pouvons maintenant constater une disparition de la tendance qui était pourtant évidente (surtout dans le cas $n=500$) avant la différenciation.

Et au niveau du graphe des ACF, nous voyons que les auto-corrélations sont nettement inférieur à ce que l’on a pu observer précédemment.

Situation sans tendance mais avec saisonnalité

Pour cette situation, nous allons utiliser $a=2$ et $b=0$. Ainsi nous aurons la série simulée $X_j = 2 \text{cos}(ω_j) + \varepsilon_j$.

Commencons par repésenter la série ainsi que sa suite des auto-corrélations empiriques pour $n=100$ et $n=500$.

$n=100$
$n=500$

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Sim_serie_season_100 <- Sim_serie(n[1], a[2], b[2], w)

gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_100), ggACF(Sim_serie_season_100)$ACF, ncol = 2)

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Sim_serie_season_500 <- Sim_serie(n[2], a[2], b[2], w)

gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_500), ggACF(Sim_serie_season_500)$ACF, ncol = 2)

Résultats

Nous pouvons constater ici qu’il ne semble pas y avoir de de tendance. Cependant nous sentons bien la présence d’une saisonnalité. Ici nous voyons bien avec le graphe de la suite des auto-corrélations que les auto-corrélation sont élevés et on peut également distinguer à quel temps se trouve la saisonnalié (ici cela semble être à $j=12$).

Différenciation d’ordre 12

Ici, nous allons procéder à une opération d’ordre 12. Cela signifi que pour notre série $X_j$, nous allons effectuer l’opération $X_j − X_{j−12}$.
Cette opération peut ce faire facilement avec la fonction diff.

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Sim_serie_season_100_diff <- diff(Sim_serie_season_100, lag = 12)
Sim_serie_season_500_diff <- diff(Sim_serie_season_500, lag = 12)

Maintenant, nous pouvons donc regarder l’effet que cette différenciation d’orde 12 a pu avoir sur notre série et son graphe des auto-corrélations empiriques.

$n=100$
$n=500$

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_100_diff), ggACF(Sim_serie_season_100_diff)$ACF, ncol = 2)

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gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_500_diff), ggACF(Sim_serie_season_500_diff)$ACF, ncol = 2)

Résultats

Nous pouvons maintenant constater un atténuissement de la saisonnalité qui était pourtant évidente visible (et même tès visible sur le graphe des ACF).

Puis au niveau du graphe des ACF, nous voyons que les auto-corrélations sont nettement inférieur à ce que l’on a pu observer précédemment avec tout de même quelques “pics” toujours présents.

Conclusion

Pour conclure, nous avons pu constater qu’en grandissant l’échantillon, la tendance et la saisonnalité ressortent d’avantage et influencent nos auto-corrélations. Nous ne pouvons donc pas considérer les séries comme stationnaires.

Note

Une série est dite stationnaire si la structure n’évolue pas avec le temps, i.e soit un processus temporel $(Z_i)_i$, $\forall k$ et pour toute fonction $f$ mesurable $f(Z_1, ..., Z_t)$ et $f(Z_{1+k}, ..., Z_{t+k})$ ont même loi.

Cependant, l’opération de différenciation peut permettre de résoudre ce problème d’auto-corrélations quand celle ci est adaptée à la “perturbation”(tendance ou saison) de notre série.

Pour visualiser cela, on peut effecuer les calculs. Dans le cas de la série $X_j = 0.01j +\varepsilon_j$ Où il reste l’effet de tendance, \[\begin{align*} X_j - X_{j-1} &= 0.01j +\varepsilon_j - 0.01(j-1) -\varepsilon_{j-1}\\ &= 0.01j - 0.01j - 0.01 + \varepsilon_j - \varepsilon_{j-1}\\ &= -0.01 +\varepsilon_j - \varepsilon_{j-1}\\ \end{align*}\] Ainsi, nous avons bien une disparition de la tendance.

Et dans le cas de la série $X_j = 2cos(\frac{\pi}{6}j) + \varepsilon_j$ où il reste l’effet de saison, \[\begin{align*} X_j - X_{j-12} &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}(j-12)) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}j-\frac{\pi}{6}12) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}j-2\pi) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2(cos(\frac{\pi}{6}j)cos(2\pi) - sin(\frac{\pi}{6}j)sin(2\pi)) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2(cos(\frac{\pi}{6}j) - 0) -\varepsilon_{j-12}\\ &= \varepsilon_j -\varepsilon_{j-12}\\ \end{align*}\] Nous avons maintenant une disparition de la saison.

Autrement dit, une différenciation d’ordre 1 permettra d’enlever la tendance et une différenciation d’ordre $s$ permettra d’enlever une saison de période $s$.

Session info

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sessioninfo::session_info(pkgs = "attached")

─ Session info ───────────────────────────────────────────────────────────────
 setting  value
 version  R version 4.4.2 (2024-10-31)
 os       Ubuntu 24.04.1 LTS
 system   x86_64, linux-gnu
 ui       X11
 language (EN)
 collate  fr_FR.UTF-8
 ctype    fr_FR.UTF-8
 tz       Europe/Paris
 date     2025-03-03
 pandoc   3.2 @ /usr/lib/rstudio/resources/app/bin/quarto/bin/tools/x86_64/ (via rmarkdown)

─ Packages ───────────────────────────────────────────────────────────────────
 package   * version date (UTC) lib source
 dplyr     * 1.1.4   2023-11-17 [1] CRAN (R 4.4.2)
 ggplot2   * 3.5.1   2024-04-23 [1] CRAN (R 4.4.2)
 latex2exp * 0.9.6   2022-11-28 [1] CRAN (R 4.4.2)

 [1] /home/clement/R/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.4
 [2] /usr/local/lib/R/site-library
 [3] /usr/lib/R/site-library
 [4] /usr/lib/R/library

──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

--- title: "Exercice 2.02" author: "Clément Poupelin" date: "2025-03-03" date-modified: "`r Sys.Date()`" format: html: embed-resources: false toc: true code-fold: true code-summary: "Show the code" code-tools: true toc-location: right page-layout: article code-overflow: wrap toc: true number-sections: false editor: visual categories: ["Fiche 2", "Différenciation", "Tendance", "Saisonnalité"] image: "/img/graphique_frequence.png" description: "Nous allons ici voir l'impact de l'opération de **différenciation** pour des données simulées avec **tendance** et **saisonnalité**" --- # Intervenant.e.s ### Rédaction - **Clément Poupelin**, [clementjc.poupelin\@gmail.com](mailto:clementjc.poupelin@gmail.com){.email}\ ### Relecture - # Setup :::: panel-tabset ## Packages ```{r, setup, warning=FALSE, message=FALSE} # Données library(dplyr) # manipulation des données # Esthétique library(latex2exp) ## TeX library(ggplot2) ## ggplot ``` ## Fonctions ::: panel-tabset ### Série temporelle simulée ```{r} Sim_serie <- function(n, a, b, w) { x <- a * cos(w * seq(1, n)) + b * seq(1, n) + rnorm(n) return(ts(x)) } ``` ### Plot de séries temporelles ```{r} ggTimeSerie <- function(ts) { df_series <- data.frame(Time = seq_along(ts), X_t = ts) p <- ggplot(df_series, aes(x = Time, y = X_t)) + geom_line(color = "red") + labs(title = TeX(paste0( "Série $X_j$ pour n = ", length(ts) )), x = "Time", y = "Simulated series") + theme_minimal() return(p) } ``` ### Plot pour ACF et PACF ```{r} ggACF <- function(ts) { acf_data <- acf(ts, plot = FALSE) df_acf <- data.frame(Lag = acf_data$lag, ACF = acf_data$acf) pacf_data <- pacf(ts, plot = FALSE) df_pacf <- data.frame(Lag = pacf_data$lag, PACF = pacf_data$acf) # Intervalle de confiance ci <- qnorm((1 + 0.95) / 2) / sqrt(length(ts)) # ACF p_acf <- ggplot(df_acf, aes(x = Lag, y = ACF)) + geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") + geom_point(color = "red") + labs(title = "Autocorrelation Function (ACF)", x = "Lag", y = "ACF") + geom_hline(yintercept = c(-ci, ci), color = "blue", linetype = "dashed") + theme_minimal() # PACF p_pacf <- ggplot(df_pacf, aes(x = Lag, y = PACF)) + geom_segment(aes(xend = Lag, yend = 0), color = "red") + geom_point(color = "red") + labs(title = "Partial Autocorrelation Function (PACF)", x = "Lag", y = "PACF") + geom_hline(yintercept = c(-ci, ci), color = "blue", linetype = "dashed") + theme_minimal() return(list(ACF = p_acf, PACF = p_pacf)) } ``` ::: ## Seed ```{r} set.seed(140400) ``` :::: # Données Pour cette exercice, nous allons utilisé une fonction qui retourne une série simulée de la forme $X_j = a \text{cos}(ω_j) + bj + \varepsilon_j$, $j=1, ..., n$, avec $(\varepsilon_j)$ un bruit blanc gaussien centré et de variance 1. Les paramètres d’entrée de la fonction sont $n$, $a$, $b$, $w$ et la sortie est une série temporelle. ::: callout-note Pour définir une série comme série temporelle, on utilise la fonction *`ts`* qui transforme nos points générés en une série temporelle. ::: On pose maintenant différents paramètres que l'on testeras : - $n=100$ ou $n=500$ - $a=0$ ou $a=2$ - $b=.01$ ou $b=0$ - $w=\frac{\pi}{6}$ ```{r} n <- c(100, 500) a <- c(0, 2) b <- c(0.01, 0) w <- pi/6 ``` # Situation avec tendance mais sans saisonnalité Pour cette situation, nous allons utiliser $a=0$ et $b=.01$. Ainsi nous aurons la série simulée $X_j = .01j + \varepsilon_j$. Commencons par repésenter la série ainsi que sa suite des auto-corrélations empiriques pour $n=100$ et $n=500$. ::: callout-note Pour tracer notre série temporelle et sa suites des auto-corrélations empiriques, on pourrait se contenter d'utiliser les fonctions de bases *`plot`* et *`acf`*. ::: ::: panel-tabset ## $n=100$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} Sim_serie_drift_100 <- Sim_serie(n[1], a[1], b[1], w) gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_100), ggACF(Sim_serie_drift_100)$ACF, ncol = 2) ``` ## $n=500$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} Sim_serie_drift_500 <- Sim_serie(n[2], a[1], b[1], w) gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_500), ggACF(Sim_serie_drift_500)$ACF, ncol = 2) ``` ::: :::: success-header ::: success-icon ::: Résultats :::: ::: success Nous pouvons constater ici la présence d'une tendance qui se renforce quand $n=500$. Et nous voyons bien l'impact que cela a sur la suite des auto-corrélation avec des auto-corrélation élevés quand $n=500$.\ Mais cela nous fait donc aussi remarquer qu'il faut être prudent avec les tendances qui ne sont pas toujours évidentes à repérer lorsque $n$ est "petit". ::: ## Différenciation d'ordre 1 Ici, nous allons procéder à une opération d'ordre 1. Cela signifi que pour notre série $X_j$, nous allons effectuer l'opération $X_j − X_{j−1}$.\ Cette opération peut ce faire facilement avec la fonction *`diff`*. ```{r} Sim_serie_drift_100_diff <- diff(Sim_serie_drift_100, lag = 1) Sim_serie_drift_500_diff <- diff(Sim_serie_drift_500, lag = 1) ``` Maintenant, nous pouvons donc regarder l'effet que cette différenciation d'orde 1 a pu avoir sur notre série et son graphe des auto-corrélations empiriques. ::: panel-tabset ## $n=100$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_100_diff), ggACF(Sim_serie_drift_100_diff)$ACF, ncol = 2) ``` ## $n=500$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_drift_500_diff), ggACF(Sim_serie_drift_500_diff)$ACF, ncol = 2) ``` ::: :::: success-header ::: success-icon ::: Résultats :::: ::: success Nous pouvons maintenant constater une disparition de la tendance qui était pourtant évidente (surtout dans le cas $n=500$) avant la différenciation. Et au niveau du graphe des ACF, nous voyons que les auto-corrélations sont nettement inférieur à ce que l'on a pu observer précédemment. ::: # Situation sans tendance mais avec saisonnalité Pour cette situation, nous allons utiliser $a=2$ et $b=0$. Ainsi nous aurons la série simulée $X_j = 2 \text{cos}(ω_j) + \varepsilon_j$. Commencons par repésenter la série ainsi que sa suite des auto-corrélations empiriques pour $n=100$ et $n=500$. ::: panel-tabset ## $n=100$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} Sim_serie_season_100 <- Sim_serie(n[1], a[2], b[2], w) gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_100), ggACF(Sim_serie_season_100)$ACF, ncol = 2) ``` ## $n=500$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} Sim_serie_season_500 <- Sim_serie(n[2], a[2], b[2], w) gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_500), ggACF(Sim_serie_season_500)$ACF, ncol = 2) ``` ::: :::: success-header ::: success-icon ::: Résultats :::: ::: success Nous pouvons constater ici qu'il ne semble pas y avoir de de tendance. Cependant nous sentons bien la présence d'une saisonnalité. Ici nous voyons bien avec le graphe de la suite des auto-corrélations que les auto-corrélation sont élevés et on peut également distinguer à quel temps se trouve la saisonnalié (ici cela semble être à $j=12$).\ ::: ## Différenciation d'ordre 12 Ici, nous allons procéder à une opération d'ordre 12. Cela signifi que pour notre série $X_j$, nous allons effectuer l'opération $X_j − X_{j−12}$.\ Cette opération peut ce faire facilement avec la fonction *`diff`*. ```{r} Sim_serie_season_100_diff <- diff(Sim_serie_season_100, lag = 12) Sim_serie_season_500_diff <- diff(Sim_serie_season_500, lag = 12) ``` Maintenant, nous pouvons donc regarder l'effet que cette différenciation d'orde 12 a pu avoir sur notre série et son graphe des auto-corrélations empiriques. ::: panel-tabset ## $n=100$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_100_diff), ggACF(Sim_serie_season_100_diff)$ACF, ncol = 2) ``` ## $n=500$ ```{r, message=FALSE, fig.height=6, fig.width=10} gridExtra::grid.arrange(ggTimeSerie(Sim_serie_season_500_diff), ggACF(Sim_serie_season_500_diff)$ACF, ncol = 2) ``` ::: :::: success-header ::: success-icon ::: Résultats :::: ::: success Nous pouvons maintenant constater un atténuissement de la saisonnalité qui était pourtant évidente visible (et même tès visible sur le graphe des ACF). Puis au niveau du graphe des ACF, nous voyons que les auto-corrélations sont nettement inférieur à ce que l'on a pu observer précédemment avec tout de même quelques "pics" toujours présents. ::: # Conclusion Pour conclure, nous avons pu constater qu'en grandissant l'échantillon, la tendance et la saisonnalité ressortent d'avantage et influencent nos auto-corrélations. Nous ne pouvons donc pas considérer les séries comme stationnaires. ::: callout-note Une série est dite stationnaire si la structure n'évolue pas avec le temps, i.e soit un processus temporel $(Z_i)_i$, $\forall k$ et pour toute fonction $f$ mesurable $f(Z_1, ..., Z_t)$ et $f(Z_{1+k}, ..., Z_{t+k})$ ont même loi. ::: Cependant, l'opération de différenciation peut permettre de résoudre ce problème d'auto-corrélations quand celle ci est adaptée à la "perturbation"(tendance ou saison) de notre série. Pour visualiser cela, on peut effecuer les calculs. Dans le cas de la série $X_j = 0.01j +\varepsilon_j$ Où il reste l'effet de tendance, \begin{align*} X_j - X_{j-1} &= 0.01j +\varepsilon_j - 0.01(j-1) -\varepsilon_{j-1}\\ &= 0.01j - 0.01j - 0.01 + \varepsilon_j - \varepsilon_{j-1}\\ &= -0.01 +\varepsilon_j - \varepsilon_{j-1}\\ \end{align*} Ainsi, nous avons bien une disparition de la tendance. Et dans le cas de la série $X_j = 2cos(\frac{\pi}{6}j) + \varepsilon_j$ où il reste l'effet de saison, \begin{align*} X_j - X_{j-12} &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}(j-12)) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}j-\frac{\pi}{6}12) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2cos(\frac{\pi}{6}j-2\pi) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2(cos(\frac{\pi}{6}j)cos(2\pi) - sin(\frac{\pi}{6}j)sin(2\pi)) -\varepsilon_{j-12}\\ &= 2cos(\frac{\pi}{6}j) +\varepsilon_j - 2(cos(\frac{\pi}{6}j) - 0) -\varepsilon_{j-12}\\ &= \varepsilon_j -\varepsilon_{j-12}\\ \end{align*} Nous avons maintenant une disparition de la saison. Autrement dit, une différenciation d'ordre 1 permettra d'enlever la tendance et une différenciation d'ordre $s$ permettra d'enlever une saison de période $s$. # Session info ```{r} sessioninfo::session_info(pkgs = "attached") ```