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library(dplyr) # manipulation des donnéesIntervenant.e.s
Rédaction
- Clément Poupelin, clementjc.poupelin@gmail.com
Relecture
Setup
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set.seed(140400)Exercice
On souhaite exprimer la hauteur \(y\) d’un arbre en fonction de son diamètre \(x\) à 1m30 du sol. Pour cela, on a mesuré 20 couples diamètre-hauteur et les résultats ci-dessous sont disponibles :
\(\bar{x} = 34.9\)
\(\bar{y} = 18.34\)
\(\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})^2 = 28.29\)
\(\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(y_i - \bar{y})^2 = 2.85\)
\(\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6.26\)
On note \(\hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x\) l’estimation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés ordinaires. Ainsi
\(\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)
\(\hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1}\bar{x}\)
Ce qui nous permet d’effectuer les calculs suivants :
\(\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})^2} = \frac{6.26}{28.29} \approx 0.22\)
\(\hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1}\bar{x} = 18.34 - 0.22\times34.9 \approx 10.66\)
Maintenant, on peut exprimer une une mesure de qualité d’ajustement des données au modèle à l’aide des statistiques élémentaires. C’est à dire que l’on va utiliser le coefficient de corrélation :
\[r = \frac{\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{20}(y_i - \bar{y})^2}} \approx 0.70\]
Ici, \(r\), qui est une valeur dans \([-1, 1]\), est suffisament proche de 1 pour considérer que le modèle est bon.
Conclusion
Dans cet exercice, nous avons pu nous entraîner à la mise en œuvre d’un modèle linéaire simple. Cette approche permet de modéliser la relation entre une variable explicative et une variable à expliquer.
Dans le cadre d’une régression simple, le coefficient de corrélation \(r\) constitue une mesure pertinente de la qualité de l’ajustement. Plus \(r\) est proche de 1 (ou de -1), plus la relation linéaire entre les deux variables est forte. En particulier, un \(r\) proche de 1 indique une forte corrélation positive, ce qui signifie que le modèle linéaire décrit bien la tendance générale des données.
Toutefois, il est important de garder à l’esprit que \(r\) ne suffit pas à lui seul pour évaluer la qualité d’un modèle, l’analyse des résidus et d’autres indicateurs (comme \(R^2\), l’erreur quadratique, …) sont également nécessaires pour une évaluation complète.
Session info
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sessioninfo::session_info(pkgs = "attached")─ Session info ───────────────────────────────────────────────────────────────
setting value
version R version 4.4.2 (2024-10-31)
os Ubuntu 24.04.1 LTS
system x86_64, linux-gnu
ui X11
language (EN)
collate fr_FR.UTF-8
ctype fr_FR.UTF-8
tz Europe/Paris
date 2025-04-13
pandoc 3.2 @ /usr/lib/rstudio/resources/app/bin/quarto/bin/tools/x86_64/ (via rmarkdown)
─ Packages ───────────────────────────────────────────────────────────────────
package * version date (UTC) lib source
dplyr * 1.1.4 2023-11-17 [1] CRAN (R 4.4.2)
[1] /home/clement/R/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.4
[2] /usr/local/lib/R/site-library
[3] /usr/lib/R/site-library
[4] /usr/lib/R/library
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