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Clément Poupelin, clementjc.poupelin@gmail.com

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library(dplyr)        # manipulation des données

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set.seed(140400)

Exercice

Cette exercice à pour but de présenter un peu les coefficients de corrélation de Bravais-Pearson et Spearman.

On considère deux échantillons de \(n\) variables \((X_1, ..., X_n)\) et \((Y_1, ..., Y_n)\).
La corrélation linéaire empirique \(r\) entre les deux échantillons (corrélation de Bravais-Pearson) ce définit comme :

\[r = \frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(Y_i - \bar{Y})^2}} \in [-1, 1]\] Il s’agit d’une normalisation de la covariance entre \(X\) et \(Y\) afin de la ramener entre -1 et 1.

Maintenant, on pose la fonction \(f\) définie par \(f(z) = \sum_{i=1}^{n} (X_i - zY_i)^2\).
On peut remarquer tout d’abord que :

\(f(z) \geq 0, \quad \forall z \in \mathbb{R}\)
\(f(z) = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - 2z\sum_{i=1}^{n}X_iY_i + z^2\sum_{i=1}^{n} Y_i^2\)

Ainsi, on peut reconnaitre un polynome du second degré avec \(\Delta = 4 \left[ (\sum_{i=1}^{n}X_iY_i)^2 - \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sum_{i=1}^{n}Y_i^2 \right]\).

Puis comme \(f(z) \geq 0\), on aura que

\[\begin{align*} \Delta \leq 0 & \Leftrightarrow 4 \left[ (\sum_{i=1}^{n}X_i Y_i)^2 - \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sum_{i=1}^{n}Y_i^2 \right] \leq 0 \\ & \Leftrightarrow (\sum_{i=1}^{n}X_i Y_i)^2 \leq \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sum_{i=1}^{n}Y_i^2 \\ & \Leftrightarrow (\sum_{i=1}^{n}X_i Y_i)^2 \leq \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sum_{i=1}^{n}Y_i^2 \\ & \Leftrightarrow \frac{(\sum_{i=1}^{n}X_i Y_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sum_{i=1}^{n}Y_i^2} \leq 1 \\ & \Leftrightarrow r^2 \leq 1 \\ & \Leftrightarrow -1 \leq r \leq 1 \\ \end{align*}\]

Maintenant, on note \((r_1, ..., r_n)\) les rangs des variables \(X_i\) et \((s_1, ..., s_n)\) les rangs des variables \(Y_i\) dans chaque échantillon. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-aequo, de telle sorte que les rangs vont de \(1\) à \(n\).

La corrélation de Spearman \(\rho\) entre les échantillons \((X_1, ..., X_n)\) et \((Y_1, ..., Y_n)\) correspond à la corrélation linéaire entre leurs rangs.

Ainsi, on peut calculer la moyenne et la variance empirique de l’échantillon \((r_1, ..., r_n)\) :

Moyenne empirique
Variance empirique

\[\begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i \\ & = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} \\ & = \frac{n+1}{2} \\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i \right)^2 & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \\ & = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} \\ & = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} \\ & = \frac{2(n+1)(2n+1)}{12} - \frac{3(n+1)^2}{12} \\ & = \frac{1}{12} \left[(n+1)(2(n+1) - 3(n+1))\right] \\ & = \frac{1}{12} \left[(n+1)(4n + 2 - 3n - 3)\right] \\ & = \frac{1}{12} (n+1)(n-1) \\ & = \frac{1}{12} (n^2-1) \\ \end{align*}\]

Cela nous permet donc de déduire que

\[\begin{align*} \rho & = \frac{\sum_{i=1}^n(r_i - \bar{r})(s_i - \bar{s})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(r_i - \bar{r})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(s_i - \bar{s})^2}} \\ & = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(r_i - \bar{r})(s_i - \bar{s})}{\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(r_i - \bar{r})^2}\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(s_i - \bar{s})^2}} \\ & = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n r_is_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n r_i\bar{s} - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \bar{r}s_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \bar{r} \bar{s}}{\sqrt{ \frac{1}{12} n^2-1}\sqrt{ \frac{1}{12} n^2-1}} \\ &= \frac{12}{n^2-1} \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^n r_is_i - \bar{s} \sum_{i=1}^n r_i - \bar{r} \sum_{i=1}^n s_i + n \bar{r} \bar{s} \right]\\ &= \frac{12}{(n^2-1)n} \left[ \sum_{i=1}^n r_is_i - \bar{s} n\bar{r} - \bar{r} n\bar{s} + n \bar{r} \bar{s} \right]\\ &= \frac{12}{(n^2-1)n} \left[ \sum_{i=1}^n r_is_i - \bar{s} n\bar{r}\right]\\ &= \frac{12}{(n^2-1)n} \left[ \sum_{i=1}^n r_is_i - n\frac{(n+1)^2}{4} \right]\\ &= \frac{12\sum_{i=1}^n r_is_i - 3n(n+1)^2}{n(n^2-1)}\\ \end{align*}\]

Ensuite, soit \(d_i = r_i - s_i\). Alors

\(\sum_{i=1}^n d_i^2 = \sum_{i=1}^n r_i^2 + \sum_{i=1}^ns_i^2 - 2\sum_{i=1}^nr_is_i\)
\(\quad \quad = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\sum_{i=1}^nr_is_i\)
\(\Leftrightarrow 6\sum_{i=1}^n d_i^2 = 2n(n+1)(2n+1) - 12\sum_{i=1}^nr_is_i\)
\(\Leftrightarrow 12\sum_{i=1}^nr_is_i = 2n(n+1)(2n+1) - 6\sum_{i=1}^n d_i^2\)

Ce qui peut nous permettre de déduire la valeur de \(\rho\) en fonction de l’échantillon des différences \(d_i\).

\[\begin{align*} \rho & = \frac{12\sum_{i=1}^n r_is_i - 3n(n+1)^2}{n(n^2-1)}\\ & = \frac{ 2n(n+1)(2n+1) - 6\sum_{i=1}^n d_i^2 - 3n(n+1)^2}{n(n^2-1)}\\ & = \frac{ (n+1)(2n(2n+1) - 3n(n+1)) - 6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\\ & = \frac{ (n+1)(n^2-n) - 6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\\ & = \frac{ (n+1)(n-1)n - 6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\\ & = \frac{ (n^2-1)n - 6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\\ & = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\\ \end{align*}\]

Conclusion

Nous avons pu définir et illustrer de manière concrète le lien entre les deux coefficients étudiés, en mettant en évidence leur complémentarité dans l’analyse statistique. Cette démarche nous a également permis de nous entraîner à la manipulation mathématique de ces coefficients, en comprenant non seulement leur interprétation, mais aussi les relations algébriques qui les unissent. Au-delà de l’aspect purement technique, cet exercice contribue à une meilleure compréhension des outils statistiques et de leur utilité dans l’analyse de données, en posant les bases nécessaires à une utilisation rigoureuse et critique dans des contextes réels.

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sessioninfo::session_info(pkgs = "attached")

─ Session info ───────────────────────────────────────────────────────────────
 setting  value
 version  R version 4.4.2 (2024-10-31)
 os       Ubuntu 24.04.1 LTS
 system   x86_64, linux-gnu
 ui       X11
 language (EN)
 collate  fr_FR.UTF-8
 ctype    fr_FR.UTF-8
 tz       Europe/Paris
 date     2025-04-13
 pandoc   3.2 @ /usr/lib/rstudio/resources/app/bin/quarto/bin/tools/x86_64/ (via rmarkdown)

─ Packages ───────────────────────────────────────────────────────────────────
 package * version date (UTC) lib source
 dplyr   * 1.1.4   2023-11-17 [1] CRAN (R 4.4.2)

 [1] /home/clement/R/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.4
 [2] /usr/local/lib/R/site-library
 [3] /usr/lib/R/site-library
 [4] /usr/lib/R/library

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